摘要：一次“失败”的挑战，如何变成了意外突破
1859年，德国数学家黎曼发表了一篇仅八页的论文《论小于给定数值的素数个数》。 论文里有一个关乎素数分布的猜想，后来被命名为“黎曼猜想”，跻身克雷数学研究所的千禧年七大难题之一。 蒙哥马利的遗珠
上世纪七十年代，美国数学家休·蒙哥马利提出一个别出心裁的想法：与其盯着某一个零点在哪里，不如退后一步，看看零点与零点之间是否存在某种隐形的关联。
► 文 观察者网心智观察所
160多年以来，黎曼猜想像一座数学世界的冰山，无数人前赴后继试图把它劈开，却只能蹭下几块冰屑。最近，Anthropic给Claude下了一道近乎狂妄的指令：你去解决黎曼猜想。就在这场注定失败的冲锋中，Claude拐了个弯，撞开了一扇谁都不曾留意到的侧门，大幅逼近了黎曼猜想的证明。它把数学家苦苦追了五十年的比例下界，从41.6%一把推到了67.2%。这是一次足以让整个领域侧目的跳跃。AI的解决方式更加令人心跳加速，它在浩如烟海的数学文献里，自己挑了一条路，自己挖出了一块宝。
一次“失败”的挑战，如何变成了意外突破
1859年，德国数学家黎曼发表了一篇仅八页的论文《论小于给定数值的素数个数》。谁也没想到，这薄薄几页纸，会在接下来一个多世纪里，成为无数顶尖头脑的噩梦。论文里有一个关乎素数分布的猜想，后来被命名为“黎曼猜想”，跻身克雷数学研究所的千禧年七大难题之一。
素数就是那些只能被1和自身整除的数字：2、3、5、7、11、13……它们像数学世界的原子，所有整数都由它们搭建而成。可这些原子出现得毫无章法，你无法预测下一个素数在哪里。但数学家总觉得随机背后必有秩序，混乱深处藏着规律。
黎曼断言，素数分布的真正密码藏在一个特殊函数：黎曼ζ函数的零点之中。
黎曼ζ函数
所谓零点，就是让函数ζ(s)取值为零的那些特殊点s。其中一部分零点的位置很平凡，比如所有负偶数；但另一部分零点，也就是“非平凡零点”，藏在复平面的某个神秘区域里。
黎曼做了一个猜测：所有非平凡零点的实部都恰好等于1/2。换句话说，它们全部落在复平面上那条垂直的直线临界线上。这个猜测就是赫赫有名的黎曼猜想。
这个猜想如果成立，人类就能掌控素数分布。问题在于，没人能证明它。一百六十多年里，无数数学家前赴后继，扑上去，有的穷尽一生，有的抱憾而终，纪录虽然不断刷新，却始终没能触及终点。
最近，Anthropic决定让Claude放手一搏。他们没有奢求奇迹，他们完成的是一项极限测试：给AI一个人类都搞不定的终极难题，看它会怎么思考，怎么挣扎，怎么失败。结果，Claude确实没能证明黎曼猜想，但它在失败的路上，向问题的解决迈出了极大的一步。
它证明了：至少三分之二的ζ函数零点位于临界线上。三分之二，听起来离百分之百还有漫漫长路，数学界却为之震动。因为此前人类花了数十年，才知道大约41.6%的ζ函数零点落在临界线上。Claude一次跳跃，就往前拱了二十多个百分点，这在纯数学领域，几乎像短跑选手突然打破了自己保持十年的世界纪录。
几十年来，数学家一直在跟一个百分比较劲
数学家过去在做什么？黎曼猜想要求“所有零点都在线上”，可直接证明难到令人绝望。于是聪明人换了个问法：能不能首先证明至少有多少比例的零点落在线上？
这就把问题从“全有或全无”变成了一个渐进式的比例游戏。1940年代，数学家率先确认了无限多个零点确实在线上。随后几十年，大家开始一点点往上堆比例。1970年代，莱文森的方法把比例抬到了大约三分之一；1980年代，康瑞又往前推了一步；到2020年前后，人类最好的纪录停留在5/12，也就是约41.6%。
这个数字卡了很多年。为什么提高几个百分点都这么费劲？因为这些零点不是散藏身于一个极度复杂的数学结构里，你不可能逐个问“在不在线上”，只能通过研究整体统计规律间接推断。正如你无法打开城市里每个人的档案，却可以通过人口流动和交通数据，推测某个群体的最小规模。
过去的方法已经非常成熟，成熟到几乎榨干了所有潜能，再往前挪一寸都需要全新的视角。而Claude带来的，恰恰就是那个新视角。
蒙哥马利的遗珠
蒙哥马利发现，ζ函数的零点虽然看似随机，但它们之间的间距与分布模式竟然呈现出一种惊人的规律性。这种规律可以帮我们判断有多少零点应该位于临界线上。但这里存在着一个致命的前提：蒙哥马利的方法默认黎曼猜想成立。
要证明它成立，却假设它成立，这就有问题了。如果不能假设所有零点都在线上，蒙哥马利的方法就失去了立足之地。后来的数学家一直在努力修补这个漏洞，他们解决了其中一部分，所谓“素数侧”的问题。但真正的硬骨头在于：如果存在偏离临界线的零点，该怎么处理这些坏零点带来的复杂影响？
过去几十年来，这块硬骨头几乎无人能啃动。而聪明的Claude换了一个问题：就算有一些零点偏离了线，整体结构是否仍然能告诉我，至少有多少零点必须在线上？这个思路的转换，成了整篇论文的新入口。
正与负的博弈：Claude如何用“信号”撬动纪录
论文中最核心的数学工具，犹如一个检测器。这个检测器会根据零点的位置发出不同信号：如果一个零点待在临界线上，它就贡献一股正向力量；如果它偏离了，就会产生负面影响，相当于噪音。
过去，数学家总想证明所有信号都是正的。可我们无法排除负号的存在。Claude放弃了这个执念，不再追求“全部为正”，它在仔细分析正负信号相互抵消之后，整体仍然能保留多少正向的净效果，从而推出正向信号所占比例。
论文中最具突破性的一步，是把原本无限复杂的函数分析问题，压缩成一个有限规模的矩阵问题，就是把无限复杂的数学对象压缩成一张有限规模的“关系表”，这个关系表记录不同数学因素之间如何相互牵制、相互影响。关系表上可能存在一些异常区域，但整体拓扑结构却揭示了一个事实：至少有67.2%的零点，无法逃脱临界线的引力。
Anthropic提到，Claude构造了由Weil理论产生的数学空间，并仔细分析了其中正、负方向的结构关系，从而获得新的下界。这不是天马行空的灵感，这是精密推理的产物。
AI不是从零发明数学，只是把散落的零件拼成了新机器
千万别误会，Claude并不是凭空创造了一套全新的数学理论。相反，它大量依赖了过去几十年的积累：蒙哥马利的统计规律、邦别里等人的深入工作，以及后续众多数学家对方法的不断打磨。Anthropic也坦言，Claude的成果建立在前人研究的基础之上。
但真正有意思的是,这些研究成果过去分散在不同论文里，像一堆零部件躺在不同工具箱中。数学家们当然知道每个零件的作用，但如何把它们组合成一架能够飞行的新机器，却需要极其精巧的构思。Claude大量阅读已有文献，尝试各种意想不到的组合方式，然后在一万次失败中，偶然碰到了一次奏效的搭配。
据Anthropic透露，Claude最初尝试了650种不同思路，全部铩羽而归。但它不会气馁，随后调动了约60个子模型同时作业，有的检查推理漏洞，有的编写程序做数值测试，有的搜索已有论文确认结果是否重复。整个流程像一场小规模的学术攻坚战，只不过指挥官是一段代码，士兵也是代码。
最终，人类数学家介入，审核证明的每个环节，并协助将其转化为Lean形式化证明，这是现代数学里确保严谨性的重要步骤，证明能否被一步步验证。这一步的完成，让Claude的成果获得了真正的学术信度。
这次突破有何不同？
近两年，AI在数学领域频频亮相，有的能辅助证明已有定理，有的能拿下奥赛难题，有的能推翻某些特定类型的猜想，但大多属于“人类给出方向和数据，AI负责求解”的模式。
这次黎曼猜想实验，人类只给了一个极其宽泛的目标，“你去证明黎曼猜想”，没有指定方法，没有提示路径，甚至连该从哪个子问题入手都没说。Claude自己选择了研究方向，自己发现了那个“比例下界”的问题，自己找到了正负结构这把钥匙，最终形成了一条完整的新证明路线。
这很像数学家的日常：未必能攻克山顶的大本营，但在攀登途中不断调整路线，被一个侧翼的难题吸引，然后发现那个难题本身蕴藏着意外的风景。Claude这次的路线，几乎就是上述过程的数字复刻。
当然，它离真正的创造性数学家还有距离，它不会像人类那样拥有直觉、审美和想象力的飞跃。但它至少证明了一件事：AI已经能够从浩如烟海的可能性中，拾取一条人类忽视的线索，并将其编织成有价值的成果。
如果AI最终证明了黎曼猜想，会怎样？
回到那个终极问题：AI能解决黎曼猜想吗？目前看，还不行。67.2%到100%之间，横亘着本质性的鸿沟。黎曼猜想之所以如此棘手，正是因为它要求对无限多个零点给出统一的、穷尽的论证，而不是统计意义上的大多数。
但这次事件改变了一个认知维度。过去人们总爱问“AI能不能证明一个定理”，今后更值得问的是“AI能不能帮助数学家发现新的问题、新的方法和新的连接”。Claude展示的恰恰是后者，没有敲开终点的大门，却在沿途插下了新的路标。
数学史上有许多重大突破，往往不是因为更复杂的计算，恰恰是因为有人换了一套看问题的眼光。笛卡尔用解析几何把几何变成代数，傅里叶把复杂的振动拆解成频率的叠加，现代数学家则不断发明新语言来描述旧问题。Claude这次所做的，本质上也属于这种“视角转换”，它没有解决黎曼猜想，但它改变了研究相关问题的方式。
黎曼写下八页论文那时，肯定没想过160年后，一个硅基头脑会沿着他的足迹，在素数森林里踩出一条从未有人踏足的小径。67.2%不是最终答案，却是一声清晰的号角，表明AI已不再是只会算数的工具，它已经学会像人类一样，在未知的边缘试探、跌倒、再爬起来，然后偶尔捡到一颗璀璨的贝壳。
至于那颗叫作黎曼猜想的珍珠，还静静地躺在深海里。把它采上来的那双手，究竟属于人，还是属于AI？这个问题的答案，或许会比我们的想象来得更快。
参考文献
https://www.anthropic.com/r...
https://www-cdn.anthropic.c...
来源|心智观察所
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上世纪七十年代，美国数学家休·蒙哥马利提出一个别出心裁的想法：与其盯着某一个零点在哪里，不如退后一步，看看零点与零点之间是否存在某种隐形的关联。
► 文 观察者网心智观察所
160多年以来，黎曼猜想像一座数学世界的冰山，无数人前赴后继试图把它劈开，却只能蹭下几块冰屑。最近，Anthropic给Claude下了一道近乎狂妄的指令：你去解决黎曼猜想。就在这场注定失败的冲锋中，Claude拐了个弯，撞开了一扇谁都不曾留意到的侧门，大幅逼近了黎曼猜想的证明。它把数学家苦苦追了五十年的比例下界，从41.6%一把推到了67.2%。这是一次足以让整个领域侧目的跳跃。AI的解决方式更加令人心跳加速，它在浩如烟海的数学文献里，自己挑了一条路，自己挖出了一块宝。
一次“失败”的挑战，如何变成了意外突破
1859年，德国数学家黎曼发表了一篇仅八页的论文《论小于给定数值的素数个数》。谁也没想到，这薄薄几页纸，会在接下来一个多世纪里，成为无数顶尖头脑的噩梦。论文里有一个关乎素数分布的猜想，后来被命名为“黎曼猜想”，跻身克雷数学研究所的千禧年七大难题之一。
素数就是那些只能被1和自身整除的数字：2、3、5、7、11、13……它们像数学世界的原子，所有整数都由它们搭建而成。可这些原子出现得毫无章法，你无法预测下一个素数在哪里。但数学家总觉得随机背后必有秩序，混乱深处藏着规律。
黎曼断言，素数分布的真正密码藏在一个特殊函数：黎曼ζ函数的零点之中。
黎曼ζ函数
所谓零点，就是让函数ζ(s)取值为零的那些特殊点s。其中一部分零点的位置很平凡，比如所有负偶数；但另一部分零点，也就是“非平凡零点”，藏在复平面的某个神秘区域里。
黎曼做了一个猜测：所有非平凡零点的实部都恰好等于1/2。换句话说，它们全部落在复平面上那条垂直的直线临界线上。这个猜测就是赫赫有名的黎曼猜想。
这个猜想如果成立，人类就能掌控素数分布。问题在于，没人能证明它。一百六十多年里，无数数学家前赴后继，扑上去，有的穷尽一生，有的抱憾而终，纪录虽然不断刷新，却始终没能触及终点。
最近，Anthropic决定让Claude放手一搏。他们没有奢求奇迹，他们完成的是一项极限测试：给AI一个人类都搞不定的终极难题，看它会怎么思考，怎么挣扎，怎么失败。结果，Claude确实没能证明黎曼猜想，但它在失败的路上，向问题的解决迈出了极大的一步。
它证明了：至少三分之二的ζ函数零点位于临界线上。三分之二，听起来离百分之百还有漫漫长路，数学界却为之震动。因为此前人类花了数十年，才知道大约41.6%的ζ函数零点落在临界线上。Claude一次跳跃，就往前拱了二十多个百分点，这在纯数学领域，几乎像短跑选手突然打破了自己保持十年的世界纪录。
几十年来，数学家一直在跟一个百分比较劲
数学家过去在做什么？黎曼猜想要求“所有零点都在线上”，可直接证明难到令人绝望。于是聪明人换了个问法：能不能首先证明至少有多少比例的零点落在线上？
这就把问题从“全有或全无”变成了一个渐进式的比例游戏。1940年代，数学家率先确认了无限多个零点确实在线上。随后几十年，大家开始一点点往上堆比例。1970年代，莱文森的方法把比例抬到了大约三分之一；1980年代，康瑞又往前推了一步；到2020年前后，人类最好的纪录停留在5/12，也就是约41.6%。
这个数字卡了很多年。为什么提高几个百分点都这么费劲？因为这些零点不是散藏身于一个极度复杂的数学结构里，你不可能逐个问“在不在线上”，只能通过研究整体统计规律间接推断。正如你无法打开城市里每个人的档案，却可以通过人口流动和交通数据，推测某个群体的最小规模。
过去的方法已经非常成熟，成熟到几乎榨干了所有潜能，再往前挪一寸都需要全新的视角。而Claude带来的，恰恰就是那个新视角。
蒙哥马利的遗珠
上世纪七十年代，美国数学家休·蒙哥马利提出一个别出心裁的想法：与其盯着某一个零点在哪里，不如退后一步，看看零点与零点之间是否存在某种隐形的关联。
蒙哥马利发现，ζ函数的零点虽然看似随机，但它们之间的间距与分布模式竟然呈现出一种惊人的规律性。这种规律可以帮我们判断有多少零点应该位于临界线上。但这里存在着一个致命的前提：蒙哥马利的方法默认黎曼猜想成立。
要证明它成立，却假设它成立，这就有问题了。如果不能假设所有零点都在线上，蒙哥马利的方法就失去了立足之地。后来的数学家一直在努力修补这个漏洞，他们解决了其中一部分，所谓“素数侧”的问题。但真正的硬骨头在于：如果存在偏离临界线的零点，该怎么处理这些坏零点带来的复杂影响？
过去几十年来，这块硬骨头几乎无人能啃动。而聪明的Claude换了一个问题：就算有一些零点偏离了线，整体结构是否仍然能告诉我，至少有多少零点必须在线上？这个思路的转换，成了整篇论文的新入口。
正与负的博弈：Claude如何用“信号”撬动纪录
论文中最核心的数学工具，犹如一个检测器。这个检测器会根据零点的位置发出不同信号：如果一个零点待在临界线上，它就贡献一股正向力量；如果它偏离了，就会产生负面影响，相当于噪音。
过去，数学家总想证明所有信号都是正的。可我们无法排除负号的存在。Claude放弃了这个执念，不再追求“全部为正”，它在仔细分析正负信号相互抵消之后，整体仍然能保留多少正向的净效果，从而推出正向信号所占比例。
论文中最具突破性的一步，是把原本无限复杂的函数分析问题，压缩成一个有限规模的矩阵问题，就是把无限复杂的数学对象压缩成一张有限规模的“关系表”，这个关系表记录不同数学因素之间如何相互牵制、相互影响。关系表上可能存在一些异常区域，但整体拓扑结构却揭示了一个事实：至少有67.2%的零点，无法逃脱临界线的引力。
Anthropic提到，Claude构造了由Weil理论产生的数学空间，并仔细分析了其中正、负方向的结构关系，从而获得新的下界。这不是天马行空的灵感，这是精密推理的产物。
AI不是从零发明数学，只是把散落的零件拼成了新机器
千万别误会，Claude并不是凭空创造了一套全新的数学理论。相反，它大量依赖了过去几十年的积累：蒙哥马利的统计规律、邦别里等人的深入工作，以及后续众多数学家对方法的不断打磨。Anthropic也坦言，Claude的成果建立在前人研究的基础之上。
但真正有意思的是,这些研究成果过去分散在不同论文里，像一堆零部件躺在不同工具箱中。数学家们当然知道每个零件的作用，但如何把它们组合成一架能够飞行的新机器，却需要极其精巧的构思。Claude大量阅读已有文献，尝试各种意想不到的组合方式，然后在一万次失败中，偶然碰到了一次奏效的搭配。
据Anthropic透露，Claude最初尝试了650种不同思路，全部铩羽而归。但它不会气馁，随后调动了约60个子模型同时作业，有的检查推理漏洞，有的编写程序做数值测试，有的搜索已有论文确认结果是否重复。整个流程像一场小规模的学术攻坚战，只不过指挥官是一段代码，士兵也是代码。
最终，人类数学家介入，审核证明的每个环节，并协助将其转化为Lean形式化证明，这是现代数学里确保严谨性的重要步骤，证明能否被一步步验证。这一步的完成，让Claude的成果获得了真正的学术信度。
这次突破有何不同？
近两年，AI在数学领域频频亮相，有的能辅助证明已有定理，有的能拿下奥赛难题，有的能推翻某些特定类型的猜想，但大多属于“人类给出方向和数据，AI负责求解”的模式。
这次黎曼猜想实验，人类只给了一个极其宽泛的目标，“你去证明黎曼猜想”，没有指定方法，没有提示路径，甚至连该从哪个子问题入手都没说。Claude自己选择了研究方向，自己发现了那个“比例下界”的问题，自己找到了正负结构这把钥匙，最终形成了一条完整的新证明路线。
这很像数学家的日常：未必能攻克山顶的大本营，但在攀登途中不断调整路线，被一个侧翼的难题吸引，然后发现那个难题本身蕴藏着意外的风景。Claude这次的路线，几乎就是上述过程的数字复刻。
当然，它离真正的创造性数学家还有距离，它不会像人类那样拥有直觉、审美和想象力的飞跃。但它至少证明了一件事：AI已经能够从浩如烟海的可能性中，拾取一条人类忽视的线索，并将其编织成有价值的成果。
如果AI最终证明了黎曼猜想，会怎样？
回到那个终极问题：AI能解决黎曼猜想吗？目前看，还不行。67.2%到100%之间，横亘着本质性的鸿沟。黎曼猜想之所以如此棘手，正是因为它要求对无限多个零点给出统一的、穷尽的论证，而不是统计意义上的大多数。
但这次事件改变了一个认知维度。过去人们总爱问“AI能不能证明一个定理”，今后更值得问的是“AI能不能帮助数学家发现新的问题、新的方法和新的连接”。Claude展示的恰恰是后者，没有敲开终点的大门，却在沿途插下了新的路标。
数学史上有许多重大突破，往往不是因为更复杂的计算，恰恰是因为有人换了一套看问题的眼光。笛卡尔用解析几何把几何变成代数，傅里叶把复杂的振动拆解成频率的叠加，现代数学家则不断发明新语言来描述旧问题。Claude这次所做的，本质上也属于这种“视角转换”，它没有解决黎曼猜想，但它改变了研究相关问题的方式。
黎曼写下八页论文那时，肯定没想过160年后，一个硅基头脑会沿着他的足迹，在素数森林里踩出一条从未有人踏足的小径。67.2%不是最终答案，却是一声清晰的号角，表明AI已不再是只会算数的工具，它已经学会像人类一样，在未知的边缘试探、跌倒、再爬起来，然后偶尔捡到一颗璀璨的贝壳。
至于那颗叫作黎曼猜想的珍珠，还静静地躺在深海里。把它采上来的那双手，究竟属于人，还是属于AI？这个问题的答案，或许会比我们的想象来得更快。
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